গতি সংক্রান্ত সমীকরণ

গতি সংক্রান্ত সমীকরণ আজকের আলোচনার বিষয়। গতি সংক্রান্ত সমীকরণ [ Equations of motion ] ক্লাসটি পলিটেকনিক [Polytechnic] এর ফিজিক্স-১ (৬৫৯১২), Physics 1 এর, অধ্যায় ৩ এর টপিক। গতি সংক্রান্ত সমীকরণ [ Equations of motion ] ক্লাসটি উচ্চ মাধ্যমিক এর ১ম বর্ষের ফিজিক্স পাঠ [ HSC 1st Year Physics] এর অংশও বটে। নিউটনিয়ান বলবিদ্যায় সমস্যা সমাধানের গুরুত্বপূর্ণ অস্ত্র হছে গতি সংক্রান্ত সমীকরণগুলো। এই ভিডিওতে সমীকরণগুলোর সূচনা করা হয়েছে এবং প্রমাণ দেখানো হয়েছে।

গতি সংক্রান্ত সমীকরণ

পদার্থবিজ্ঞানে যেসব সমীকরণ দ্বারা কোন ভৌত ব্যবস্থার গতিকে সময়ের ফাংশনরূপে উপস্থাপনের মাধ্যমে ঐ ভৌত ব্যবস্থাটির আচরণ বর্ণনা করা হয় তাদেরকেই গতির সমীকরণ বলা হয়। বিশদভাবে বলা যায়, গতির সমীকরণসমূহ ভৌত ব্যবস্থার আচরণকে বিভিন্ন গতীয় (dynamic) চলকের গাণিতিক ফাংশনের সেটরূপে বর্ণনা করে যেখানে গতীয় চলক হিসেবে সচরাচর অবস্থানাঙ্ক ও সময় ব্যবহার করা হয়, তবে ভরবেগ-উপাংশ ও সময়ের ন্যায় অন্যান্য গতীয় চলকও ব্যবহার করা যায়।

এক্ষেত্রে ভৌত ব্যবস্থার যে কোন সুবিধাজনক বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন চলকের ন্যায় সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কসমূহ ব্যবহারের জন্য সচরাচর অধিকহারে বাছাই করা হয়। সংক্ষেপে বলা যায়, গতির চলকগুলোকে সমীকৃত করে প্রাপ্ত সমীকরণই গতির সমীকরণ। চিরায়ত বলবিদ্যার আলোকে কোন ফাংশনকে ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে একে ইউক্লিডীয় স্থানের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হলেও আপেক্ষিকতা সম্পর্কিত আলোচনায় একে বক্র স্থান দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়। যদি একটি সিস্টেমের গতিবিদ্যা জানা থাকে তবে ব্যবস্থাটির গতিবিদ্যার গতি বর্ণনাকারী ব্যবকলনী সমীকরণগুলোর জন্য যে সমাধানগুলো পাওয়া যায় সেগুলোই হবে এর গতির সমীকরণ।

ধরন

পদার্থবিজ্ঞানে গতি সংক্রান্ত প্রধান দুই ধরনের আলোচনা রয়েছে—গতিবিদ্যা ও সৃতিবিদ্যা। গতিবিদ্যায় বলের ক্রিয়াধীন বস্তুর গতি আলোচনা করা হয়। কণার ভরবেগ, বল, শক্তি ইত্যাদি এই সাধারণ শাখার আলোচনার বিষয় বস্তু। এক্ষেত্রে গতিবিদ্যা পরিভাষাটি যেমন কখনো কখনো সিস্টেমের জন্য সন্তোষজনক ব্যবকলনী সমীকরণসমূহকে বুঝিয়ে থাকে (যেমন: নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অথবা অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণসমূহ), তেমনই আবার এটি কখনো কখনো ঐ সমীকরণসমূহের সমাধানগুলোকেও বুঝিয়ে থাকে।

যাই হোক, উপর্যুক্ত শাখা দুটির মধ্যে সৃতিবিদ্যা সরলতর। এতে গতির কারণ আলোচনা না করে গতির বৈশিষ্ট্য (বস্তুর অবস্থান ও সময় সম্পর্কিত চলক তথা বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন) নিয়ে আলোচনা করা হয়। ‌সৃতিবিদ্যা এমনই এক সাধারণ শাখা যা কেবলমাত্র বস্তুর অবস্থান ও সময় থেকে প্রতিপাদিত চলকসমূহের সাথে সম্পর্কযুক্ত। ধ্রুব ত্বরণের ক্ষেত্রে সরণ s, আদি বেগ u, শেষ বেগ v, ত্বরণ a ও সময় t সৃতিবিদ্যার এই পাঁচটি রাশির সংজ্ঞা থেকে প্রতিপাদিত এই সরলতম সমীকরণগুলোকে একত্রে suvat সমীকরণ বলা হয়।

একারণে গতির সমীকরণসমূহকে গতির শ্রেণিবিন্যাসকারী এসব প্রধান বিষয়ের অধীনে বিন্যস্ত করা যেতে পারে। সকল ক্ষেত্রে গতিকে মূলত জ্যামিতিক অনুবাদ, ঘূর্ণন, স্পন্দন অথবা এদের সমন্বিত রূপ হিসেবেই দেখা যায়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে অনুবাদ হল এক প্রকার জ্যামিতিক রূপান্তর যেখানে কোন ফিগার বা স্থানের প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট দিক বরাবর গতিশীল।

কোন সমস্যার জন্য একটি সমীকরণ নির্ধারণের নিমিত্তে, সচরাচর ভৌত রাশিসমূহের ভৌত নিয়মাবলী ও প্রযোজক সংজ্ঞা হিসেবে চিহ্নিত এমন কোন গতীয় ব্যবকলনী সমীকরণ ব্যবহার করা হয়ে থাকে। এই ব্যবকলনী সমীকরণের সমাধান করলে এক গুচ্ছ স্বেচ্ছাধীন সমাধানের অনুরূপ, এর একটি স্বাধীন ধ্রুবকযুক্ত সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়। প্রাথমিক মানসমূহ নির্ধারণ করে দেওয়া হলে একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যেতে পারে, যা থেকে ধ্রুবকসমূহের মান নিরূপণ করা যাবে।

যথাযথভাবে বলতে গেলে, কোন বস্তুর গতির সমীকরণ M হল সচরাচর এর অবস্থান r, বেগ v, ত্বরণ a এবং সময় t এর একটি ফাংশন; যেখানে বেগ হল সময় t এর সাপেক্ষে অবস্থান r এর প্রথম অন্তরজ বা ডেরিভেটিভ, অর্থাৎ বেগ v = dr/dt এবং ত্বরণ হল r এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, অর্থাৎ ত্বরণ a = d²r/dt²। ত্রিমাত্রিক কাঠামোয় ইউক্লিডীয় ভেক্টরকে মোটা হরফ দ্বারা নির্দেশ করা হয়। r এর গতীয় সমীকরণটিকে, r এর দ্বিতীয় ক্রমের নিম্নোক্ত সাধারণ ব্যবকলনী সমীকরণের সমতূল্য বলা যায়—

,

এখানে t হল সময়। r এর উপর একটি ডট দ্বারা সময়ের সাপেক্ষে প্রথম ডেরিভেটিভ এবং দুটি ডট দ্বারা সময়ের সাপেক্ষে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বোঝানো হয়েছে। t = 0 এ প্রাপ্ত , ˙ ধ্রুব মানগুলোর মাধ্যমে প্রাথমিক শর্তগুলো আরোপ করা হয়ে থাকে।

বিশেষায়িত প্রাথমিক মান দিয়ে, গতির সমীকরণের r(t) এর সমাধান হতে t = 0 অনুযায়ী সকল t সময়ের জন্য সিস্টেমের ব্যাখ্যা পাওয়া যায়। t সময়ে বস্তুর অবস্থান r অদ্যাবধি সর্বাধিক কাঙ্ক্ষিত রাশি হওয়া সত্ত্বেও, গতির কিছু সমীকরণের সমাধানের জন্য r এর পরিবর্তে ভরবেগ p‘র মত গতীয় (dynamical) চলককে অথবা r ও p হতে প্রতিপাদিত কৌণিক ভরবেগের ন্যায় রাশিসমূহকে ব্যবহার করা যেতে পারে।

কখনো কখনো সমীকরণসমূহ রৈখিক এবং প্রায়ই নির্ভুলভাবে সমাধানযোগ্য হয়। সাধারণত, সমীকরণসমূহ অরৈখিক এবং নির্ভুলভাবে সমাধানের অযোগ্য হয়ে থাকে, তাই সমীকরণের সমাধানের জন্য অবশ্যই বিভিন্ন আসন্ন মান ব্যবহার করা হয়। অরৈখিক সমীকরণসমূহের সমাধান বিশৃঙ্খল আচরণ দেখাতে পারে যা প্রাথমিক শর্তসমূহের প্রতি ব্যবস্থাটির সংবেদনশীলতার উপর নির্ভরশীল।

ভর কেন্দ্র সরণ ও চৌবাচ্চার গাণিতিক সমস্যা বিস্তারিত দেখুন ঃ