দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি ও গড়বেগ

দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি ও গড়বেগ আজকের আলোচনার বিষয়। দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি, গড়বেগ [Speed, Velocity, Average Speed & Average Velocity] ক্লাসটি পলিটেকনিক [Polytechnic] এর ফিজিক্স-১ (৬৫৯১২), Physics 1 এর, অধ্যায় ৩ এর টপিক।

দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি, গড়বেগ [Speed, Velocity, Average Speed & Average Velocity] ক্লাসটি উচ্চ মাধ্যমিক এর ১ম বর্ষের ফিজিক্স পাঠ [ HSC 1st Year Physics] এর অংশও বটে। দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি, গড়বেগ [Speed, Velocity, Average Speed & Average Velocity] ক্লাসটিতে গতিবিদ্যায় সবসময় ব্যবহার করা হয় এমন কিছু টার্ম এখানে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এই ভিডিও দেখার আগে দূরত্ব ও সরণ সম্পর্কিত ভিডিওটি দেখে আসার সাজেশান থাকবে।

Table of Contents

গড় দ্রুতি

যে সকল ভৌত ধর্মগুলোর দিক দিয়ে চিন্তা করলে দ্রুতি দ্বারা মূলত তাৎক্ষণিক দ্রুতি বোঝায়। কিন্তু বাস্তব পৃথিবীতে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় গড় দ্রুতি ( ${\tilde {v}}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়) শব্দটি। নির্দিষ্ট সময় অতিক্রান্ত দূরত্বকে উক্ত সময় দ্বারা ভাগ করলে গড় দ্রুতি পাওয়া যায়। যেমন: কেউ যদি ২ ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে তার গড় দ্রুতি হবে, ৬০/২ = ৩০ কিমি/ঘণ্টা। কিন্তু তার তাৎক্ষণিক দ্রুতি সময়ের সাথে দ্রুত পরিবর্তিত হয় এবং এ থেকে অনেক কম বেশিও হতে পারে, আবার শূন্যও হতে পারে।

গাণিতিকভাবে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়:

{\tilde {v}}={\frac {\Delta l}{\Delta t}}.

$[t_{0},t_{1}]$ পরিমাণ সময়ের ব্যবধানে যে তাৎক্ষণিক দ্রুতি পাওয়া যায় তাকে সময়ের ফাংশন হিসেবে নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা হয়:

{\tilde {v}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}v(t)\,dt}{\Delta t}}

আবার $[l_{0},l_{1}]$ পরিমাণ দূরত্বের পরিবর্তনে প্রাপ্ত তাৎক্ষণিক দ্রুতিকে দূরত্বের ফাংশন হিসেবেও প্রকাশ করা যায়:

{\tilde {v}}={\frac {\Delta l}{\int _{l_{0}}^{l_{1}}{\frac {1}{v(l)}}\,dl}}

অনেক সময় ধারণা করা হয়, অর্ধেক দূরত্ব $v_{a}$ পরিমাণ দ্রুতিতে এবং বাকি অর্ধেক দূরত্ব $v_{b}$ দ্রুতিতে অতিক্রম করলে মোট গড় দ্রুতি হবে ${\tilde {v}}={\frac {v_{a}+v_{b}}{2}}$ । কিন্তু এটি ভুল ধারণা। প্রকৃতপক্ষে গড় দ্রুতির সমীকরণটি হবে এরকম:

{\tilde {v}}={\frac {2}{{\frac {1}{v_{a}}}+{\frac {1}{v_{b}}}}}

এখানে লক্ষ্য করার মতো বিষয় হচ্ছে এই যে, প্রথম সমীকরণের ফল একটি সঠিক বীজগাণিতিক গড়

এছাড়া দ্রুতির বণ্টন ফাংশন থেকেও গড় দ্রুতি পরিমাপ করা যেতে পারে। এই ফাংশন দূরত্ব বা সময় যেকোনটিরই হতে পারে:

v\sim D_{t}\;\Rightarrow \;{\tilde {v}}=\int vD_{t}(v)\,dv

v\sim D_{l}\;\Rightarrow \;{\tilde {v}}={\frac {1}{\int {\frac {D_{l}(v)}{v}}\,dv}}

গড় বেগ

কোনো বস্তুর আদিবেগ ও শেষবেগ এর গড়কে বস্তুটির গড় বেগ বলে।

তাৎক্ষণিক বেগ বা বেগ

গতিশীল বস্তুর কোন মুহূর্তের বেগকে তাৎক্ষণিক বেগ বা instantaneous velocity বলে। বস্তুর গতি বিবেচনায় তাৎক্ষণিক বেগকে শুধু বেগ হিসেবেও বিবেচনা করা হয়। সময় ব্যবধান শূন্যের সমীপবর্তী হলে গড়ে বেগের সীমান্তিক মানেই তাৎক্ষণিক বেগ বলে। সুতরাং x– অক্ষ বরাবর গতির জন্য তাৎক্ষণিক বেগের মান,

${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}$

এখানে $lim$ এর অর্থ limit বা সীমা এবং $\Delta t\to 0$ ( $\Delta t$ tends to zero) দ্বারা সময় ব্যবধান শূন্যের সমীপবর্তী বুঝানো হয়েছে। তাৎক্ষণিক বেগের দিক হবে, গতিপথের যে বিন্দুতে তাৎক্ষণিক বেগ বিবেচনা করা হবে, সে বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বরাবর গতির দিকে।

সমবেগ বা সুষম বেগ

সমহার গতি সম্পন্ন বস্তুর বেগকে সমবেগ বা uniform velocity বলে। সময়ের সাথে কোন বস্তুর অবস্থান পরিবর্তনের হার অপরিবর্তিত থাকলে এর বেগকে সমবেগ বলে। অন্যভাবে বলা যায়, বস্তুর গতি কালে তার বেগের মান ও দিক উভয়ই অপরিবর্তিত থাকলেই তা সমবেগ হবে। বস্তু সমবেগে চললে নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে এর সরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকবে; অর্থাৎ বস্তু যদি প্রথম $5s$ এ $10m$ অতিক্রম করে পূর্বদিকে যায়, তবে পরবর্তী $5s$ সময়েও $10m$ অতিক্রম করে পূর্বদিকে যাবে।

শব্দের বেগ ও আলোর বেগ সমবেগের প্রকৃষ্ট প্রাকৃতিক উদাহরণ।

অসম বেগ

কোন বস্তুর গতিকালে যদি তার বেগের মান বা দিক বা উভয়ই পরিবর্তিত হয় তাহলে সেই বেগকে অসম বেগ বলে। আমরা সচরাচর যেসকল গতিশীল বস্তু দেখি তাদের বেগ অসম।

মধ্য বেগ

কোন একটি গতিশীল বস্তুর আদিবেগ ও শেষ বেগের অভিমূখ একই হলে তাদের গড়কে মধ্যবেগ বা mean velocity বলে।

ধরা যাক, কোন নির্দিষ্ট দিকে একটি বস্তুর আদিবেগ $u$ এবং শেষ বেগ $v$ । অতএব মধ্যবেগ = ${\frac {(u+v)}{2}}$

প্রকৃত বেগ

অতি অল্প সময়ে কোন একটি গতিশীল বস্তুর সরণ এবং ব্যয়িত সময়ের ভাগফলকে প্রকৃত বেগ বা actual velocity বলে।

আপেক্ষিক বেগ

কোন বস্ত স্থির না সচল তা বুঝবার জন্য আমরা কোন স্থির বস্তুর সাথে তুলনা করে থাকি। যেহেতু এই মহাবিশ্বে পরম স্থিতিশীল কোন বস্তু পাওয়া যায় না তাই আমাদেরকে কোন বস্তুর গতি অপর কোন গতিশীল বস্তুর গতির সাথে তুলনা করে বুঝতে হয়। তাই বলা যায়, এই মহাবিশ্বের সকল গতিই আপেক্ষিক। পাশাপাশি থেমে থাকা দুটি ট্রেনের একটি চলতে শুরু করলে গতিশীল ট্রেনের যাত্রীর কাছে মনে হবে যেন পাশের ট্রেনটি উল্টোদিকে চলতে শুরু করেছে। আসলে ট্রেন দুটির মধ্যবর্তী পারস্পরিক গতির জন্য এরূপ মনে হয়। চলমান যাত্রীর সাপেক্ষে থেমে থাকা গাড়ির বেগ হচ্ছে আপেক্ষিক বেগ।

ধরা যাক, $v$ বেগে একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে চলছে। স্রোতের বেগ $v1$ হলে, তীরে অবস্থিত কোন স্থির পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে নৌকার আপেক্ষিক বেগ হবে ( $v$ + $v1$ )। যদি নৌকাটি স্রোতের প্রতিকূলে চলে, তবে এক্ষেত্রে আপেক্ষিক বেগ হবে ( $v$ – $v1$ )।

অন্যান্য

নিম্নের সূত্রের মাধ্যমে $\Delta t$ সময়ে $\Delta x$ দূরত্ব অতিক্রমকারী কোনো বস্তুর গড় বেগ ${\bar {\mathbf {v} }}$ হিসাব করা যায়,

{\boldsymbol {\bar {v}}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}.

কোন বস্তুর ${\boldsymbol {t}}$ সময়ে অবস্থান ${\boldsymbol {x}}$ ( ${\boldsymbol {t}}$ ) এবং $t+\Delta t$ সময়ে অবস্থান ${\boldsymbol {x}}$ $(t+\Delta t)$ হলে গতিবেগকে নিম্নে বর্ণিত সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

{\boldsymbol {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{{{\boldsymbol {x}}(t+\Delta t)-{\boldsymbol {x}}(t)} \over \Delta t}={\mathrm {d} {\boldsymbol {x}} \over \mathrm {d} t}.

অর্থাৎ, এক মাত্রায় কোন বস্তুর গতিবেগ ঐ বস্তুর সময়ের সাপেক্ষে অবস্থানের নতিকে বোঝানো হয়।

কোন বস্তু ${\boldsymbol {u}}$ প্রারম্ভিক গতিবেগ থেকে গতিপ্রাপ্ত হয়ে $\Delta t$ সময়ে ${\boldsymbol {a}}$ সমত্বরণের মাধ্যমে অন্তিম গতিবেগ ${\boldsymbol {v}}$ লাভ করলে,

{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}\Delta t.

সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর গড় গতিবেগ ${\tfrac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}$ হওয়ায় $\Delta t$ সময়ে বস্তুর অবস্থান হয় : $\Delta {\boldsymbol {x}}$ , যেখানে

\Delta {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}\Delta t.

শুধুমাত্র বস্তুর প্রারম্ভিক গতিবেগ জানা থাকলে $\Delta t$ সময়ে বস্তুর অবস্থান হয় : $\Delta {\boldsymbol {x}}$ , যেখানে

\Delta {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {u}}\Delta t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}\Delta t^{2},

এই সমীকরণগুলিকে তোরিচেল্লির সমীকরণের মাধ্যমে একত্র করলে নিম্নলিখিত সূত্র পাওয়া যায়,

v^{2}=u^{2}+2a\Delta x.\,

দ্রুতি, বেগ, গড়দ্রুতি ও গড়বেগ